Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（　　）

A.②③
B.③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】∵AB＝1，AD＝ ，
∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．
∴△OAB，△OCD为正三角形．
AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．
∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝45°，
∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．
∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，
∴CA＝CH
由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，
∴BE＝3ED．
所以正确的是②③④.
故选D．
【考点精析】掌握角平分线的性质定理和等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．