Question

【题目】如图，抛物线y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）和y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的顶点分别为M、N，与y轴分别交于E、F．

（1）①函数y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是；
②当y1、y2的值都随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是；
（2）当EF=MN时，求a值，并判断四边形EMFN是何种特殊的四边形；
（3）若y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程a（x+1）2﹣1=0的解．

Answer 1

【答案】
（1）-3；﹣1≤x≤1
（2）

解：∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，y2=a（x+1）2﹣1，

∴N（﹣1，﹣1），M（1，﹣3）．

由两点间的距离公式可知：MN=2 ．

令x=0得：y1=﹣a﹣3，y2=a﹣1．

∴F（0，a﹣1），E（0，﹣a﹣3）．

∴EF=2a+2．

∵EF=MN，

∴2a+2=2 ，解得：a= ﹣1．

作NC⊥y轴于C，MD⊥y轴于D

∴NC=1，FC=a，MD=1，DE=a

∵在Rt△CNF和Rt△MDE中， ，

∴△NCF≌MDE．

∴NF=EM，∠NFC=∠DEM

∴NF‖EM

∴四边形EMFN是平行四边形

又∵NM=EF

∴四边形EMFN是矩形

（3）

解：∵A（m，0）M（1，﹣3）N（﹣1，﹣1），

∴AN2=m2+2m+2，AM2=m2﹣2m+10，MN2=8．

①若AN=AM，则m2+2m+2=m2﹣2m+10，解得：m=2，

∴方程a（x+1）2﹣1=0的一个解为x=2，

根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=﹣4．

②若AN=MN，则m2+2m+2=8，解得：m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ （舍去），

所以方程a（x+1）2﹣1=0的一个解为x=﹣1+ ，

根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=﹣1﹣ ．

③若AM=MN，所以m2﹣2m+10=8，

此方程无解，所以此种情况不成立

综上所述当△AMN为等腰三角形时，方程a（x+1）2﹣1=0的解为x1=2，x2=﹣4或x1=﹣1 或x2=﹣1﹣

【解析】解：（1）①y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3=﹣a（x2﹣2x+1）﹣3=﹣a（x﹣1）2﹣3，
∴函数y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是﹣3．
所以答案是：﹣3．
②∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，﹣a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大．
∵y2=a（x+1）2﹣1（a＞0），
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
∴当﹣1≤x≤1时，y1、y2的值都随x的增大而增大．
【考点精析】利用二次函数的概念和二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．