Question

【题目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①当CD=CA′时，∵AA′=AC﹣CA′=3，
∴AP= AA′= ．
②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，
∴△A′CD∽△DAC，
∴ = ，
∴A′C= ，
∴AA=8﹣ = ，
∴AP= AA′= ．
故答案为 或 ．

首先证明四边形AEA′F是菱形，分两种情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分别计算即可．