Question

【题目】若一个四位自然数满足个位与百位相同，十位与千位相同，我们称这个数为“双子数”.将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”.例如，，，则.

（1）计算2424的“双11数”______；

（2）若“双子数”的“双11数”的是一个完全平方数，求的值；

（3）已知两个“双子数”、，其中，（其中，，，且、、、都为整数，若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）4或16或36；；（3）51或17．

【解析】

（1）直接根据“双子数”m的“双11数”的计算方法即可得出结论；

（2）设出四位数，进而得出F(m)=2(x+y)，再求出0＜x+y≤18，再根据F(m)是一个完全平方数，求出x+y，即可得出结论；

（3）先根据“双11数”F(p)能被17整除，进而判断出p为8989，求出F(q)=2(c+d)，再根据F(p)+2F(q)﹣(4a+3b+2d+c)=0，得出d，进而求出c，d，即可得出结论．

（1）由题意知，2424的“双11数”F（2424）12．

故答案为：12；

（2）设“双子数”m的个位数字和十位数字分别为x，y，(0≤x≤9，0＜y≤9)

则数字m为1000y+100x+10y+x=1010y+101x，

∴“双子数”m'为1010x+101y，

∴F(m)2(x+y)．

∵0≤x≤9，0＜y≤9，

∴0＜x+y≤18．

∵F(m)是一个完全平方数，

∴2(x+y)是一个完全平方数，

∴x+y=2或x+y=8或x+y=18，

∴F(m)=2×2=4或16或36，

即：F(m)的值为4或16或36；

（3）∵“双子数”p，p，

∴F(p)=2(a+b)．

∵“双11数”F(p)能被17整除，

∴a+b是17的倍数．

∵1≤a＜b≤9，

∴3≤a+b＜18，

∴a+b=17，

∴a=8，b=9，

∴“双子数”p为8989，F(p)=34．

∵“双子数”q，q，

∴F(q)=2(c+d)．

∵F(p)+2F(q)﹣(4a+3b+2d+c)=0，

∴34+2×2(c+d)﹣(4×8+3×9+2d+c)=0，

∴3c+2d=25，

∴d，

∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都为整数，

∴c为奇数，1≤c＜9，

当c=1时，d=11，不符合题意，舍去，

当c=3时，d=8，

∴“双子数”q为3838，

∴G(p，q)51，

当c=5时，d=5，不符合题意，舍去，

当c=7时，d=2，

∴“双子数”q为7272，

∴G(p，q)17，

∴G(p，q)的值为51或17．