Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；

（2）动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM，BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当t= 或时，△OMB为等腰三角形；（3）存在点P，使∠PBF被BA平分，P（，）.

【解析】

(1)根据待定系数法设抛物线解析式为，代入点C(0，﹣3)，即可得出抛物线解析式；(2)抛物线解析式可得顶点D坐标为(-2，1)，设M(-2，m)，m＞1，则MD=，若BM=OM，根据勾股定理得m2+4=m2+1，若BM=OB，则m2+1=9，

若OM=OB，则m2+4=9，根据MD=t×1，逐项计算即可得出t的值；(3)在y轴上取一点N(0，)，连接BN交抛物线于点P则∠PBO=∠EBO，设直线BN的解析式为，，代入点N(0，)，点B(﹣3，0)，得直线BN的解析式为，与抛物线解析式联立，即可得出结论.

解：(1)由题意可设抛物线解析式为，

∵点C(0，﹣3)在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为；

(2)由(1)有，

∴D点坐标为(-2，1)，抛物线的对称轴为直线x=-2，

设M(-2，m)，m＞1，则MD=，

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，

若BM=OM，则m2+4=m2+1，此方程无解，

若BM=OB，则m2+1=9，

解得或(不合题意，舍去)，

∴t=MD=，

若OM=OB，则m2+4=9，

解得或(不合题意，舍去)，

∴t=MD=，

综上所述，当t=或时，△OMB为等腰三角形；

(3)存在点P，使∠PBF被BA平分，

在y轴上取一点N(0，)，连接BN交抛物线于点P则∠PBO=∠EBO，

设直线BN的解析式为，，

∴，解得，

∴直线BN的解析式为，

解方程组，得或(不合题意，舍去)，

∴P(，).