Question

【题目】数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图1，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“≥”，“≤”或“＝”）．理由如下：如图3，过点E做EF∥BC，交AC于点F．（请你完成解答过程）

（3）拓展结论，设计新题.

已知O是等边三角形ABD的边BD的中点，AB=4，EF分别为射线AB、DA上一动点，且∠EOF=120°，若AF=1，求BE的长.

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，（3）3或1.

【解析】

（1）当E为中点时∠D＝∠BED＝30°即可证明

（2）过E作EF∥BC交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，可得BD=EF，从而证明得出

（3）分别讨论当F在线段DA的延长线上，当F点在线段DA上时，证明△OMF≌△OBE，BE=MF即可求出

解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，

∴∠BCE＝∠ACE＝30°，∠ABC＝60°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD＝30°，

∵∠EBC＝∠D+∠BED，

∴∠D＝∠BED＝30°，

∴BD＝BE＝AE．

故答案为＝．

（2）结论：AE＝BD．理由如下：

如图2中，作EF∥BC交AC于F．

∵∠AEF＝∠B＝60°，∠A＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE＝EF＝AF，∠AFE＝60°，

∴∠EFC＝∠DBE＝120°，

∵AB＝AC，AE＝AF，

∴BE＝CF，

∵∠D＝∠ECB＝∠CEF，

在△DBE和△FEC中，

，

∴△DBE≌△EFC，

∴BD＝EF＝AE，

∴BD＝AE，

故答案为＝．

（3）当F在线段DA的延长线上，如图3，作OM∥AB交AD于M，

∵O为等边△ABD的边BD的中点，

∴OB=2，∠D=∠ABC=60°，

∴△ODM为等边三角形，

∴OM=MD=2，∠OMD=60°，

∴FM=FA+AM=3，∠FMO=∠BOM=120°，

∵∠EOF=120゜，

∴∠BOE=∠FOM，

而∠EBO=180°-∠ABC=120°，

在△OMF和△OBE中，

，

∴△OMF≌△OBE，

∴BE=MF=3；

当F点在线段DA上，如图4，

∵O为等边△ABD的边BD的中点，

∴OB=2，∠D=∠ABC=60°，

∴△ODM为等边三角形，

∴OM=MD=2，∠OMD=60°，

∴FM=AM-FA=1，∠FMO=∠BOM=120°，

∵∠EOF=120゜，

∴∠BOE=∠FOM，

而∠EBO=180°-∠ABC=120°，

在△OMF和△OBE中，

，

∴△OMF≌△OBE，

∴BE=MF=1；

所以BE的值为3或1.