Question

【题目】【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

（1）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？
请证明点D也不在⊙O内．
（2）【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：
若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．
（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：【思考】如图1，

假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，

∵∠ADE是△BDE的外角，

∴∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，

所以点D也不在⊙O内，

所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上

（2）

【应用】

（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，

∵∠CAD=∠DEC=90°，

∴点E在⊙O上，

∴∠ACD=∠AED，

∵∠FDA=∠AED，

∴∠ACD=∠FDA，

∵∠DAC=90°，

∴∠ACD+∠ADC=90°，

∴∠FDA+∠ADC=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）∵∠BGE=∠BAC，

∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，

又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，

∴点G在⊙O上，

∵CD是直径，

∴∠DGC=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADG=90°

∵∠DAC=90°

∴四边形ACGD是矩形，

∴DG=AC，

∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED，

∴sin∠ACD=，

在RT△ACD中，AD=1，

∴CD=，

∴AC==，

∴DG=．

【解析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；
【应用】（1）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；
（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．