Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值
（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．
①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；
②请在二次函数y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；
③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？
④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

Answer 1

【答案】
（1）

解：设y=a（x﹣1）2+2，将（0，3）代入，得a=1，

∴y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，

∴a=1，b=﹣2，c=3

（2）

解：①当k=1时，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x=2±，即图象与x轴的交点坐标（2+，0），（2﹣，0）；

②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，

∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6），

③y=﹣x+t，经过（﹣1，6），得t=，

∴y=﹣x+，则A（7，0），

∵MN⊥x轴，

∴E点的横坐标为﹣1，

∴AE=8，

∵ME=6，

∴MA=10．

如图1，设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，

∵MD平分∠NMP，MN⊥x轴，

∴BC=BE，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AME，

∴=，则x=3．得点B（2，0），

∴MD的函数表达式为y=﹣2x+4．

∵y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．

把D（k+1，k2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，

由y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）有意义可得k=﹣3+，

④是．

当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，

当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．

【解析】（1）利用顶点式的解析式求解即可；
（2））①当k=1时，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标；
②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax2+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）；
③由y=﹣+t，经过（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x轴，可得E点的横坐标为﹣1，可得出AE，ME，MA的值．设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D代入，即可求出k的值；
④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．