Question

【题目】如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．

（1）求反比例函数表达式
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．
①当a=4时，求△ABC′的面积；
②当a的值为 3　时，△AMC与△AMC′的面积相等。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．

将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=

（2）

解：①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′，

当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．

∵点Q为OP的中点，

∴Q（2，0），

∴C（2，3），则D（4，3），

∴CD=2，

∴S△ABC=ABCD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；

②∵△AMC与△AMC′的面积相等，

∴C和C′到直线MA的距离相等，

∴C、A、C′三点共线，

∴AP=CQ=，

又∵AP=PN，

∴=a+1，解得a=3或a=﹣4（舍去），

∴当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．

故答案是：3．

【解析】（1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；
（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；
②由题意得点C的坐标为（，），则C′（，），根据△AMC与△AMC′的面积相等得出C和C′到直线MA的距离相等，得出C、A、C′三点共线，进而求解．