Question

【题目】如图1，在直角坐标系xoy中，点A、B分别在x、y轴的正半轴上，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点为点C．

（1）若A（6，0），B（0，4），求点C的坐标；

（2）以B为直角顶点，以AB和OB为直角边分别在第一、二象限作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBE，连DE交y轴于点M，当点A和点B分别在x、y轴的正半轴上运动时，判断并证明AO与MB的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）C(－4，－2)；（2）AO＝ 2MB．证明见解析.

【解析】

（1）过C点作y轴的垂线段，垂足为H点，证明△ABO≌△BCH，利用全等三角形的性质结合C在第三象限即可求得C点坐标；

（2）过D点作DN⊥y轴于点N，证明△DBN≌△BAO，根据全等三角形对应边相等BN＝AO，DN＝BO，再证明△DMN≌△EMB，可得MN＝MB，于是可得AO＝2MB.

（1）解：过C点作y轴的垂线段，垂足为H点．

∴∠BHC＝∠AOB＝90°，

∵A（6，0），B（0，4）

∴OA=6，OB=4

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABO＋∠OBC＝90°，又∠ABO＋∠OAB＝90°，

∴∠OBC＝∠OAB，

∵在△ABO和△BCH中

∴△ABO≌△BCH，

∴AO＝BH＝6，CH＝BO＝4，

∴OH＝2，

∴C(－4，－2)．

（2）AO＝ 2MB．

过D点作DN⊥y轴于点N，

∴∠BND＝∠AOB＝90°，

∵△ABD、△OBE为等腰直角三角形，

∴∠ABD＝∠OBE＝90°，AB＝BD，BO＝BE，

∴∠DBN＋∠ABO＝∠BAO＋∠ABO＝90°，

∴∠DBN＝∠BAO，

∴△DBN≌△BAO，

∴BN＝AO，DN＝BO，

在△DMN和△EMB中，

∵DN＝BO=BE，∠DNM＝∠EBM，∠DMN＝∠EMB，

∴△DMN≌△EMB，

∴MN＝MB＝BN＝AO

∴AO＝2MB．