Question

【题目】用函数方法研究动点到定点的距离问题．

在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0）的距离S时，小明发现：

S与x的函数关系为S＝并画出图像如图：

借助小明的研究经验，解决下列问题：

（1）写出动点P（x，0）到定点B（－2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？

（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．

①随着x增大，y怎样变化？

②当x取何值时，y取最小值，y的最小值是多少？

③当x<1时，证明y随着x增大而变化的规律．

Answer 1

【答案】（1）S＝,当x＝－2时，S的最小值为0；（2）①当x＜1时，y随x增大而减小；当1≤x≤5时，y是一个固定的值；当x＞5时，y随x增大而增大，②当1≤x≤5时，y取最小值，y的最小值是4，③当x＜1时，y随x增大而减小．

【解析】

(1)根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，以及绝对值的意义可直接写出结论；

（2）根据x轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，得出PM和PN的距离，它们之和即为y.①分情况讨论，根据一次函数的性质可得y的变化情况；②根据y的变化情况可求；③当x<1时，，根据函数的增减性可得.

（1）S＝；∵当x＜2时y随x增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大，∴当x＝－2时，S的最小值为0．

（2）由题意得y＝＋，根据绝对值的意义，

可转化为y＝

①当x＜1时，y随x增大而减小；

当1≤x≤5时，y是一个固定的值；

当x＞5时，y随x增大而增大．

②当1≤x≤5时，y取最小值，y的最小值是4．

③当x＜1时，，∵-2＜0

∴当x＜1时，y随x增大而减小．