Question

【题目】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线相交成四边形EFGH，求证：

（1）EG=HF．

（2）EG=BC-AB．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解．

【解析】

（1）利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明；

（2）延长AF交BC于M，通过全等得到AB=BM，然后证明四边形EMCG是平行四边形，得到EG=CM，即可得证．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，
∴∠H=90°，
同理∠HEF=∠F=90°，
∴四边形EFGH是矩形，

∴EG=HF；

（2）如图，延长AF交BC于M，

由（1）中可知AE⊥AF，即∠BEA=∠BEM=90°，

在Rt△ABE和Rt△MBE中，

，

∴△ABE≌△MBE，

∴AB=MB，AE=EM，

由于四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，AB=CD

∵BH，DF分别平分∠ABC与∠ADC，

∴∠ABE=∠CDG，

在Rt△ABE和Rt△CDG中，

，

∴△ABE≌△CDG，

∴CG=AE，

∴CG=EM，

由于四边形EFGH是矩形，

∴EM∥CG，

∴四边形EMCG是平行四边形，

∴EG=MC，

由于MC=BC-BM，

∴EG=BC-AB．