Question

【题目】如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，下列结论正确的有（ ）个
①AE= （AB+AD）； ②∠DAB+∠DCB=180°； ③CD=CB；④S△ACE﹣S△BCE=S△ADC；⑤AD=AE．

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①在AE取点F，使EF=BE，

∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE= （AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360﹣（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
∴S△ACE﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF ，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF=S△ADC ，
∴S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC ， 故④正确．
⑤由①知，AD=AF，且AF＜AE，所以AD＜AE，故⑤错误．
故选D．
【考点精析】认真审题，首先需要了解角的平分线(从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线)，还要掌握线段垂直平分线的性质(垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等)的相关知识才是答题的关键．