Question

【题目】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求 + 的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

Answer 1

【答案】
（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，

解得：x1=3，x2=1

（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，

∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，

当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，

+ = = = =﹣47；

当a=b时，原式=2

（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，

则 + = =﹣ ， = = ，

则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数

【解析】（1）根据p=﹣4，q=3，得出方程x2﹣4x+3=0，再求解即可；（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出 + 的值；（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1 ， x2 ， 得出 + =﹣ ， = ，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
【考点精析】通过灵活运用根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商即可以解答此题．