【题目】如图，已知菱形ABCD边长为4，，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．

如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；

在的前提下，求EF的最小值和此时的面积；

当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则大小是否变化？请说明理由．

参考答案：

【答案】，证明见解析；的最小值是，；如图3，当点E运动到DC边上时，大小不发生变化，理由见解析.

【解析】

先证明和是等边三角形，再证明≌，可得结论；

由≌，易证得是正三角形，继而可得当动点E运动到当，即E为AD的中点时，BE的最小，根据等边三角形三线合一的性质可得BE和EF的长，并求此时的面积；

同理得：≌，则可得，所以，则A、B、M、D四点共圆，可得．

，

证明：、F的速度相同，且同时运动，

，

又四边形ABCD是菱形，

，

，

，

是等边三角形，

同理也是等边三角形，

，

在和中，

，

≌，

；

由得：≌，

，

，

，

是等边三角形，

，

如图2，当动点E运动到，即E为AD的中点时，BE的最小，此时EF最小，

，，

，

的最小值是，

中，，，

，

，

；

如图3，当点E运动到DC边上时，大小不发生变化，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

，

，

、B、M、D四点共圆，

．

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