Question

【题目】问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和的值为最小？

问题的转化：把绕点A逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1证明：；

问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，求和的度数；

问题的延伸：如图2是有一个锐角为的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）满足：时，的值为最小；（3）点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．

【解析】

问题的转化：根据旋转的性质证明△APP是等边三角形，则PP=PA，可得结论；

问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，由“问题的转化”可知：当B、P、P、C在同一直线上时，的值为最小，确定当：时，满足三点共线；

问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角△ABC，利用勾股定理求AC的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

问题的转化：

如图1，

由旋转得：∠PAP=60°，PA=PA，

△APP是等边三角形，

∴PP=PA，

∵PC=PC，

．

问题的解决：

满足：时，的值为最小；

理由是：如图2，把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，

由“问题的转化”可知：当B、P、P、C在同一直线上时，的值为最小，

，∠APP=60°，

∴∠APB+∠APP=180°，

、P、P在同一直线上，

由旋转得：∠APC=∠APC=120°，

∵∠APP=60°，

∴∠APC+∠A PP=180°，

、P、C在同一直线上，

、P、P、C在同一直线上，

此时的值为最小，

故答案为：；

问题的延伸：

如图3，中，，，

，，

把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，

当A、P、P、C在同一直线上时，的值为最小，

由旋转得：BP=BP，∠PBP=60°，PC=PC，BC=BC，

是等边三角形，

∴PP=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠CBP=30°，

∴∠ABC=90°，

由勾股定理得：AC=，

∴PA+PB+PC=PA+PP+PC=AC=，

则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．