Question

【题目】在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为（　　）

A. 20×（）2017 B. 20×（）2018 C. 20×（）4036 D. 20×（）4034

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据勾股定理求得AB=AD=BC=，再根据两对对应角相等的三角形相似，证明△ABA1∽△DOA，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2018个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2018个正方形的面积．

∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，4），

∴OA=2，OD=4

∵∠AOD=90°，

∴AB=AD=BC=，∠ODA+∠OAD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，

∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，

∴∠ODA=∠BAA1，

∴△ABA1∽△DOA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴A1C=BC，

以此类推A2C1= A1C，A3C2=A2C1，…，

即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，

∴第2018个正方形的边长为（ ）2017BC，

∴正方形A2018B2018C2018C2017，即第2018个正方形的面积为[（）2017BC]2=20×（）4034．

故选D．