Question

【题目】如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．

（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；

（2）四边形ABC'D′的周长为　 　；

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）矩形周长为6+或2+3．

【解析】试题分析：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此进行证明即可；

（2）先判定四边形ABC'D'是菱形，再根据边长AB=AD=，即可得到四边形ABC'D′的周长为4；

（3）根据两种不同的拼法，分别求得可能拼成的矩形周长．

试题解析：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，

∴∠ADB=60°，

由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，

∴AD∥B'C'

∴四边形AB'C'D是平行四边形，

∵B'为BD中点，

∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，

又∵∠ADB=60°，

∴△ADB'是等边三角形，

∴AD=AB'，

∴四边形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，

∴AB∥C'D'，

∴四边形ABC'D'是平行四边形，

由（1）可得，AC'⊥B'D，

∴四边形ABC'D'是菱形，

∵AB=AD=，

∴四边形ABC'D′的周长为4，

故答案为：4；

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：

∴矩形周长为6+或2+3．