Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°， 点D在AB上，且CD=BD.

(1)求证:点D是AB的中点.

(2)以CD为对称轴将△ACD翻折至△A'CD，连接BA'，若∠DBC=a，求∠CB A'的度数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a

【解析】

（1）利用等边对等角易得∠DBC=∠DCB，再由等角的余角相等，可推出∠A=∠DCA，即可得证.

（2）利用三角形外角性质可得∠ADC=2a，根据折叠可得AD=A'D，∠ADA'=2a，然后求出∠A'DB，再由等腰三角形底角相等，可求出∠DBA'，减去a即为∠CB A'

（1）证明：∵CD=BD，

∴∠DBC=∠DCB

∵∠DBC+∠A=90°，∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠A=∠ACD

∴CD=AD=BD

∴点D是AB的中点

（2）解：∵CD=BD

∴∠DCB=∠DBC=a，

∴∠ADC=∠DCB+∠DBC =2a

折叠可得AD=A'D，∠ADA'=2a

∴∠A'DB=180°-∠ADC-∠ADA'=180°-4a

由（1）可知AD=BD，∴A'D=BD

∴△A'DB为等腰三角形，

∴∠DBA'=

∴∠CB A'=∠DBA'-∠DBC=a

故∠CB A'的度数为a.