Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过C作⊙O的切线交AB的延长线于E，AD⊥CE于D，连结AC.

（1）求证：AC平分∠BAD.

（2）若tan∠CAD=，AD=8，求⊙O直径AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，由DE为圆O的切线，得到OC垂直于CD，再由AD垂直于DE，得到AD与OC平行，得到一对内错角相等，根据OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；

（2）在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，根据勾股定理求出AD的长，由三角形ACD与三角形ABC相似，得到对应边成比例，即可求出AB的长．

试题解析：（1）连结OC，

∵DE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥CE，

∴AD∥OC，

∵OA=OC，

∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

（2）∵AD⊥CE，tan∠CAD=，AD=8，

∴CD=6，

∴AC=10，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°=∠D，

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ACD∽△ABC，

∴AB：AC=AC：AD，

∴AB=．