Question

【题目】如图，□ABCD的对角线相交于点O，将线段OD绕点O旋转，使点D的对应点落在BC延长线上的点E处，OE交CD于H，连接DE．

（1）求证：DE⊥BC；

（2）若OE⊥CD，求证：2CE·OE＝CD·DE；

（3）若OE⊥CD，BC＝3，CE＝1，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△CDE∽△DBE，即可得到结论；

（3）由第二问所得的相似求出DE，再由勾股定理求出AC即可．

解：（1）证明：由旋转可知OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC

∴OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE

∵∠BDE＋∠DBE＋∠BED＝180°，∴∠ODE＋∠OED＋∠OEB＋∠OBE＝180°

∴∠OED＋∠OEB＝90°，即∠DEB＝90°，∴BC⊥CD

（2）∵OE⊥CD，∴∠CHE＝90°，∴∠CDE＋∠OED＝90°

∵∠OED＋∠OEB＝90°，∴∠CDE＝∠OEB

∵∠OEB＝∠OBE，∴∠CDE＝∠OBE

∵∠CDE＝∠OBE，∠CED＝∠DEB，∴△CDE∽△DBE

∴，即CE·BD＝CD·DE

∵OE＝OD，OB＝OD，BD＝OB＋OD，∴BD＝2OE

∴2CE·OE＝CD·DE

（3）∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝4

由（2）知，△CDE∽△DBE

∴，即DE2＝CE·BE＝4，∴DE＝2

过点O作OF⊥BE，垂足为F

∵OB＝OE，∴BF＝EF＝BE＝2，∴CF＝EF－CE＝1

∵OB＝OD，BE=EF，∴OF＝DE＝1

在Rt△OCF中，

∴AC＝2OC＝