Question

【题目】如图（1）在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），做MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.

（1）求点C的坐标；

（2）求证：MD=MN；

（3）如图（2），连接DN交BC于F，连接FM，探究线段MF、CF、OM之间有什么数量关系？并证明你的结论.

图（1） 图（2）

Answer 1

【答案】（1）C（2,2）；（2）见解析（3）见解析

【解析】分析：（1）由正方形的性质可以得出OB=BC=OD就可以求出点C的坐标；

（2）在OD上取一点G，使OG=OM，就可以得出DG=BM，从而得出△GDM≌△BMN，就可以得出结论；

（3）由旋转可以得出△FCD≌△AOD，就可以得出OA=FC，∠ADM=∠CDM，进而得出△DMA≌△DMF，就可以得出AM=FM而得出结论.

详解：

（1）∵四边形OBCD是正方形，

∴OB=BC=OD，∠DOB=∠OBC=∠C=90°．

∵D（0，2），

∴OD=2，

∴OB=BC=OD=2，

∴C（2，2）；

（2）在OD上取一点G，使OG=OM，

∴∠OGM=∠OMG=45°，

∴∠DGM=135°．

∵OD=OB，

∴OD-OG=OB-OM，

∴GD=BM．

∵MN⊥DM，

∴∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°．

∵∠DMO+∠ODM=90°，

∴∠ODM=∠BMN．

∵BN平分∠CBE，

∴∠NBE=×90°=45°，

∴∠MBN=135°，

∴∠DGM=∠MBN．

在△GDM和△BMN中

，

∴△GDM≌△BMN（ASA），

∴MD=MN；

（3）OM+CF=MF

理由：∵MD=MN，∠DMN=90°，

∴∠MDN=45°，

∴∠ODM+∠FDC=45°．

∵△DCF绕点D顺时针旋转90°得△DOA，

∴△DCF≌△DOA，

∴AO=FC，∠ADO=∠FDC，AD=FD．

∴∠ADO+∠MDO=45°，

即∠ADM=45°．

∴∠ADM=∠CDM．

在△DMA和△DMF中

，

∴△DMA≌△DMF（SAS），

∴AM=FM．

∵AM=AO+MO，

∴AM=CF+MO，

∴OM+CF=MF．