Question

【题目】如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝．

（1）直接写出：∠ABD＝______度；

（2）将矩形ABCD沿BD剪开得到两个三角形，按图2摆放：点A与点C重合，CD落在AD′上，直接写出BD与B′D′的关系：_____；

（3）在图2的基础上将△AB′D′向左平移，点B′与B重合停止，设AC＝x，两个三角形重合部分的封闭图形的周长为y，请用x表示y：____．

Answer 1

【答案】60 BD=B′D′，BD⊥B′D′

【解析】

（1）解直角三角形即可解决问题．

（2）结论：BD⊥B′D′，BD=B′D′．利用“8字型”证明∠DHD′=∠BAD=90°即可．

（3）分四种情形①如图3-1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形ACDH．②如图3-2中，当＜x≤4时，重叠部分是五边形ACMNH．③如图3-2中，当＜x≤时，重叠部分是五边形ACMNH．如图3-4中，当＜x＜4+时，重叠部分是△BB′H．分别求解即可．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，AD=BC=，

∴tan∠ABD=，

∴∠ABD=60°，

故答案为：60．

（2）结论：BD⊥B′D′，BD=B′D′．

理由：如图2中，延长BD交D′B′于H．

∵∠B=∠D′，∠BDA=∠HDD′，

∴∠BAD=∠DHD′=90°，

∴BD⊥B′D′．

∵BD与B′D′为矩形的对角线，则BD=B′D′；

故答案为：BD=B′D′，BD⊥B′D′．

（3）①如图3-1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形ACDH，

由题意：AB=，AH=AB=，

∵AH∥CD，

∴，

∴，

∴BH=，

∴DH=8-（）=，

y=x+4+

=x+4+4

=；

②如图3-2中，当＜x≤4时，重叠部分是五边形ACMNH．

=

=；

③如图3-3中，当4＜x≤时，重叠部分是四边形AB′NH．

=

=；

④如图3-4中，当时，重叠部分是△BB′H．

；

故答案为：；