Question

【题目】邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图1，□为1阶准菱形.

（1）猜想与计算

邻边长分别为3和5的平行四边形是 阶准菱形；已知□的邻边长分别为（），满足，，请写出□是 阶准菱形.

（2）操作与推理

小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□沿折叠（点在上），使点落在边上的点处，得到四边形.请证明四边形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）3，12（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；

（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．

试题解析：（1）如图1，

利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，

故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：

如图2，

∵b=5r，

∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，

利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，

故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：

故答案为：3，12

（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形