Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）△ACD的周长的最小值是2+2（3）存在，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线的函数表达式；

（2）由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；

（3）存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P（1，y），根据三角形相似列比例式可得P的坐标．

试题解析：（1）把点A（﹣2，0），B（2，2）代入抛物线y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴抛物线函数表达式为：y=﹣x2+x+2；

（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；

∴对称轴是：直线x=1，

如图1，过B作BE⊥x轴于E，

∵C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，

∴C与B关于x=1对称，

∴CD=BD，

连接AB交对称轴于点D，此时△ACD的周长最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB==2，

AC==2，

∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；

答：△ACD的周长的最小值是2+2，

（3）存在，

分两种情况：

① 当∠ACP=90°时，△ACP是直角三角形，如图2，

过P作PD⊥y轴于D，

设P（1，y），

则△CGP∽△AOC，

∴，

∴=，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

② 当∠CAP=90°时，△ACP是直角三角形，如图3，

设P（1，y），

则△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

综上所述，△ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．