Question

【题目】通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离.,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的,，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为.

请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：

（1）数轴上表示和的两点之间的距离是___；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是___.

（2）点，，在数轴上分别表示数、、,那么到点.点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点.点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.

（3）的最小值为_ __.

Answer 1

【答案】（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3

【解析】

（1）根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
（2）根据数轴上两点之间的距离公式可求A到B的距离与A到C的距离之和；满足|x-3|+|x+2|=7的x的值，分三种情形讨论，转化为方程解决问题；

（3）当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3．

解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；
数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；

（2）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，
∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，
当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，
当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，
故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；

（3）原式=|x-1|+|x-4|．
当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3

故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3