Question

【题目】如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于点E,M为AE的中点,BF⊥BC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论：①∠AED=∠ADC;② ;③ACBE=12;④3BF=4AC;其中正确结论的个数有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

选项①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；

②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于6；

③根据相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；

④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．

∠AED=90°∠EAD,∠ADC=90°∠DAC，

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠DAC，

∴∠AED=∠ADC.

故①选项正确；

∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,

∴△ADE∽△ACD，得DE:DA=DC:AC=3:AC，但AC的值未知，

故②不一定正确；

由①知∠AED=∠ADC，

∴∠BED=∠BDA，

又∵∠DBE=∠ABD，

∴△BED∽△BDA，

∴DE:DA=BE:BD，由②知DE:DA=DC:AC，

∴BE:BD=DC:AC，

∴ACBE=BDDC=12.

故③选项正确；

连接DM，则DM=MA.

∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，

∴DM∥BF∥AC，

由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3；

由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF:AC=FM:MC=4:3，

∴3BF=4AC.

故④选项正确.

综上所述，①③④正确，共有3个.

故选C.