Question

【题目】如图，平行四边形中，，，，点与点是平行四边形边上的动点，点以每秒个单位长度的速度，从点运动到点，点以每秒个单位长度的速度从点→点→点运动.当其中一个点到达终点时，另一个随之停止运动.点与点同时出发，设运动时间为，的面积为.

(1)求关于的函数关系式；

(2)为何值时，将以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形.

Answer 1

【答案】（1）①当时，；②当时，；(2)时，不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形. 当时，为等腰三角形.

【解析】

（1）当0＜t≤2时，如图1，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，根据三角形面积公式求得S关于t的函数关系式，当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，由三角形面积公式求得S关于t的函数关系式，
（2）要使翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形，则△CPQ为等腰三角形，则要CQ=CP，看看t是否存在．

(1)①当时，如图1，过点作，交的延长线于点，

∴∠BED=90°,即∠BCE+∠CBE=90°,

∵四边形是平行四边形，∴AD∥BC,

，

，由勾股定理得：，

∵，

∴；

②当时，由题意得：CP=t,，，

如图2，过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于点F,

∴∠F=90°，

∵四边形是平行四边形，∴AB∥DC,

∴，∵，

,

，由勾股定理得：,

∴，

即.

∴S= .

(2)当时，不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形.

当时，令，即，解得

当时，为等腰三角形，

即为的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形.