Question

【题目】如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．

（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动；

（2）求S与t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤5且t≠4（s）时，点Q在BC上运动；当5≤t≤6（s）时，点Q在CD上运动；（2）当0＜t＜4时S=﹣t2+；当4＜t≤5时，S=t2﹣；当5＜t≤6时，S=2t﹣8；（3）当t=6时，S取到最大值，最大值为4；（4）当t=秒时，△MPQ是等腰三角形．

【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，可以证到四边形DCEM是矩形，从而可以求出的长，然后考虑不能构成的情况，即可解决问题．
（2）由于点P在点M的两边时PM的表达式不同，点Q在线段BC和DC上时点Q到PM的距离的表达式不同，因此需分三种情况讨论，如图1、2、3所示，然后只需用t的代数式表示出PM及其边上的高，就可求出S与t之间的函数关系式．
（3）利用二次函数和一次函数的性质对（2）中的三种情况进行分析，即可解决问题．
（4）易证QM≠MP，QP≠MP.若是等腰三角形，只能是由 可得： 再由可得到关于t的方程，解这个方程即可解决问题．

试题解析：(1)过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，

∵DA=DB，AM=BM，

∴DM⊥AB.

∵CE⊥AB，

∴

∴CE∥DM.

∵DC∥ME,CE∥DM,

∴四边形DCEM是矩形，

∴CE=DM=4，ME=DC=1.

∵AM=BM,AB=8,

∴AM=BM=4.

∴BE=BMME=3.

∵

∴CB=5.

∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ，

∴t≠4.

∴当且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;当 (s)时，点Q在CD上运动.

(2)①当0<t<4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴

∴QF∥CE.

∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=AMAP=4t，

∴

②当时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，

∵QF⊥AB,CE⊥AB,

∴

∴QF∥CE.

∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=APAM=t4，

∴

③当时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，

此时QF=DM=4.

∵PM=APAM=t4，

∴

综上所述：当0<t<4时当时, 当时，S=2t8.

(3)①当0<t<4时,

∵ 0<2<4，

∴当t=2时,S取到最大值,最大值为

②当时, 对称轴为x=2.

∵

∴当x>2时，S随着t的增大而增大，

∴当t=5时,S取到最大值,最大值为

③当时，S=2t8.

∵2>0，

∴S随着t的增大而增大,

∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×68=4.

综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4.

(4)当点Q在CD上运动即时，如图3，

则有 ，即

∵MP=t4<64，即MP<2，

∴QM≠MP，QP≠MP.

若△MPQ是等腰三角形，则QM=QP.

∵QM=QP，QF⊥MP，

∴MF=PF=12MP.

∵MF=DQ=5+1t=6t，MP=t4，

∴

解得：

∴当t=秒时，△MPQ是等腰三角形.