Question

【题目】已知：如图，在平行四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于．

（1）求证：；

（2）当平行四边形中等于多少度时，四边形是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当=45°时，四边形是正方形，理由见解析

【解析】

（1）根据平行四边形得到AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，根据线段中点的定义得到AE＝AB，CF＝CD，推出四边形AECF是平行四边形，得到四边形AECF是矩形，根据全等三角形的判定定理得到结论；

（2）当=45°时，可得CE⊥AB，AE=EC，故可得到四边形是正方形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴AE＝AB，CF＝CD，

∴AE＝CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC＝CB，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴四边形AECF是矩形，

∴∠BAN＝∠DCM＝90°，

在△ABN与△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（ASA）；

（2）解：当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形，

理由：∵BC＝AC，

∴∠B＝∠BAC＝45°，

∵E是AB的中点，

∴CE⊥AB，

∴AE＝EC，

∴矩形AECF是正方形．