Question

【题目】如图，在四边形中，，，是上的点，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，试证明：四边形是菱形；

（3）在（2）的条件下，已知，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）先判断出△ABC≌△ADC即可得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB＝∠AFD，即可得到；

（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；

（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可求解．

（1）在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC＝∠DAC，

在△ABF和△ADF中

，

∴△ABF≌△ADF，

∴；

（2）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，

∵CF＝CF，

∴△BCF≌△DCF，

∴∠CBF＝∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC＝∠DEF＝90，

∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF =90

∴．