Question

【题目】如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）2

【解析】分析：（1）利用两对边分另相等的四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，利用等边三角形的性质、矩形的判定，含30度角的直角三角形即可求出CF的长．

详解：（1）证明：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵□ABCD，

∴AD∥B，

∴∠AFB=∠CBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∵AE⊥BF，

∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，

∴∠BAO=∠BEO，

∴AB=BE，

∴AF=BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴□ABEF是菱形．

（2）解：∵AD=BC，AF=BE，

∴DF=CE，

∴BE=2CE，

∵AB=4，

∴BE=4，

∴CE=2，

过点A作AG⊥BC于点G，

∵∠ABC=60°，AB=BE，

∴△ABE是等边三角形，

∴BG=GE=2，

∴AF=CG=4，

∴四边形AGCF是平行四边形，

∴□AGCF是矩形，

∴AG=CF，

在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，

∴AG=，

∴CF=，