Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），且∠ACB=90°，tan∠BAC= ． ①求抛物线的解析式；
②若抛物线顶点为P，求四边形APCB的面积．

Answer 1

【答案】解：①令x=0则y=﹣ x2+bx+c=c， ∴C（0，c），
∵tan∠BAC= ，
∴A（﹣2c，0），
∠ACB=90°，
∴∠BCO=∠BAC，
∴OB= OC= c，
∴B（ c，0），
把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c得， ，
解得： ，
求抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+ ；
②y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ，
∴P（﹣ ， ），
令﹣ x2﹣ x+ =0，解得：x1=﹣1，x2= ，
∴A（﹣1，0），B（ ，0）
连接AP，PC，CB，PO，则四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB= ×1× + × × + × × =
【解析】①由y=﹣ x2+bx+c=c，可求得C（0，c），由tan∠BAC= ，可设A（﹣2c，0），B（ c，0），把A（﹣2c，0），B（ c，0）代入y=﹣ x2+bx+c=c求得b，c，即可求得求抛物线的解析式； ②解方程﹣ x2﹣ x+ =0可求得A，B点的坐标，由于四边形APCB的面积=S△AOP+S△POC+S△COB ， 根据三角形的面积公式即可求得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解抛物线与坐标轴的交点(一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．)，还要掌握解直角三角形(解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法))的相关知识才是答题的关键．