Question

【题目】如图1，直线l：y=mx+10m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）当OA=OB时，试确定直线l的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，如图2，设Q为直线AB上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的长；

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图3．问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+10．（2）14；（3）PB的长为定值．理由见解析.

【解析】

试题（1）令y=0可求得x=﹣10，从而可求得点A的坐标，令x=0得y=10m，由OA=OB可知点B的纵坐标为10，从而可求得m的值；

（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的长；

（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG=10，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP=GP=BG．

解：（1）由题意知：A（﹣10，0），B（0，10m）

∵OA=OB，

∴10m=10，即m=1．

∴L的解析式y=x+10．

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ

∴∠AMO=∠BNO=90°

∴∠AOM+∠MAO=90°

∵∠AOM+BON=90°

∴∠MAO=∠NOB

在△AMO和△ONB中，

，

∴△AMO≌△ONB．

∴ON=AM，OM=BN．

∵AM=8，BN=6，

∴MN=AM+BN=14．

（3）PB的长为定值．

理由：如图所示：过点E作EG⊥y轴于G点．

∵△AEB为等腰直角三角形，

∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．

∵EG⊥BG，

∴∠GEB+∠EBG=90°．

∴∠ABO=∠GEB．

在△ABO和△EGB中，

，

∴△ABO≌△EGB．

∴BG=AO=10，OB=EG

∵△OBF为等腰直角三角形，

∴OB=BF

∴BF=EG．

在△BFP和△GEP中，

，

∴△BFP≌△GEP．

∴BP=GP=BG=5．