Question

【题目】已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合），在同一平面内，把线段AP、BP分别折成等边△CDP和△EFP，且D、P、F三点共线，如图所示．
（1）若DF=2，求AB的长；
（2）若AB=18时，等边△CDP和△EFP的面积之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此时P点位置，若没有最大值，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△CDP和△EFP是等边三角形，

∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF，

∵DF=PD+PF=2，

∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6

（2）解：没有最大值，理由如下：

设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF= （18﹣3x）=6﹣x，

作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，

则DM= PD= x，PN= PF= （6﹣x），

∴CM= DM= x，EN= （6﹣x），

∴△CDP的面积= PDCM= x2，△EFP的面积= （6﹣x）2，

∴等边△CDP和△EFP的面积之和S= x2+ （6﹣x）2= x2﹣3 x+9 ，

∵ ＞0，

∴S有最小值，没有最大值．

【解析】（1）由等边三角形的性质容易得出结果；（2）设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF=6﹣x，求出等边△CDP和△EFP的面积之和S= x2﹣3 x+9 ， ＞0，得出S有最小值，没有最大值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)，还要掌握等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)的相关知识才是答题的关键．