Question

【题目】如图，已知直线y=﹣ x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y= （x+2）2．

联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为（﹣5， ）

（2）

解：如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，

过点P作PD⊥x轴于点D，

设P的坐标是（x，﹣ x+2），则在Rt△PDM中，

PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣ x+2）2= x2+2x+8，

P为线段AB上一个动点，故自变量x的取值范围为：﹣5＜x＜0，

答：l2与x之间的函数关系是l2= x2+2x+8，自变量x的取值范围是﹣5＜x＜0．

（3）

解：存在满足条件的点P，

连接AM，

由题意得，AM= =2 ，

①当PM=PA时， x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2，

解得：x=﹣4，

此时y=﹣ ×（﹣4）+2=4，

∴点P1（﹣4，4）；

②当PM=AM时， x2+2x+8=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2=0（舍去），

此时y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴点P2（﹣ ， ），

③当PA=AM时，x2+（﹣ x+2﹣2）2=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2= （舍去），

此时y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴点P3（﹣ ， ），

综上所述，满足条件的点为：

P1（﹣4，4）、P2（﹣ ， ）、P3（﹣ ， ），

答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（﹣4，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，﹣ x+2），根据勾股定理求出x即可；（3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到 x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．
【考点精析】利用二次函数的图象和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．