Question

【题目】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB=AD，AE=AE，

∴△BAE≌△DAE，

∴BE=DE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠3=∠1，

∴AB=BE，

∴AB=BE=DE=AD，

∴四边形ABED是菱形．

（2）解：△CDE是直角三角形．

如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，

∵AD∥BC，DF∥AE

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴DF=AE，AD=EF=BE，

∵CE=2BE，

∴BE=EF=FC，

∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，AB∥DE，

∴∠DEF=60°，

∴△DEF是等边三角形，

∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

【解析】（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解梯形的定义的相关知识，掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形．