Question

【题目】找规律

如图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题。

（1）将下表填写完整；

图形编号	①	②	③	④	⑤	…
三角形个数	1	5				…

（2）在第n个图形中有_________________个三角形。(用含n的式子表示)

（3）按照上述方法，能否得到2019个三角形?如果能，请求出n；如果不能，请简述理由。

Answer 1

【答案】（1）9，13，17；（2）(4n-3)；（3）不能，n不是整数.

【解析】

（1）通过相邻的两个图形中三角形个数比较：后面的三角形是将前面相邻的最中间的三角形分成了四个小三角形，即后面的三角形个数比它前面相邻的三角形多4个，即可写出；

（2）通过每个图形中三角形的个数，找到每个图形中三角形的个数与第n个图形的关系即可；

（3）利用（2）得到的规律公式，若能求出正整数n的值，即能得到；若求出的n不是正整数，即不能得到.

解：（1）由图可知：后面的三角形是将前面相邻的最中间的三角形分成了四个小三角形，即后面的三角形个数比它前面相邻的三角形多4个，

∵图②中有5个三角形，

∴图③中有5+4=9个三角形，图④中有5+4+4=13个三角形，图⑤中有5+4+4+4=17个三角形；

（2）∵后面的三角形个数比它前面相邻的三角形个数多4个，

∴图①中的三角形个数为：1=4×1－3

图②中的三角形个数为：5=4×1－3＋4=4×2－3

图③中的三角形个数为：9=4×2－3＋4=4×3－3

图④中的三角形个数为：13=4×3－3＋4=4×4－3

故图n中的三角形个数为：4n－3；

（3）若能，则4n－3=2019

解得n=505.5，

∵n为正整数，矛盾.

∴不能得到2019个三角形，