Question

【题目】已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AD、AC分别交于点E、F．

（1）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．

（2）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．

Answer 1

【答案】（1）52°；（2）55°.

【解析】分析：（1）根据切线的性质得：BC⊥AD，由圆周角定理得：∠AFD=90°，由同角的余角相等可得：∠C=∠ADF，由同弧所对的圆周角相等可得结论；

（2）同理得：∠ADB=90°，∠AEF+∠DEO=90°，求得∠DEO=55°，根据直径和等腰三角形的性质和三角形内角和可得结论．

详解：（1）如图①，连接DF，

∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥AD，∴∠ADC=90°，

∴∠FAD+∠C=90°．

∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD=90°，

∴∠FAD+∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF，

∵∠AEF=∠ADF，∴∠C=∠AEF=52°；

（2）如图②，连接ED．

∵BC与⊙O相切于点D，∴BC⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ODE+∠EDB=90°．

∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，

∴∠AEF+∠DEO=90°．

∵∠AEF=35°，∴∠DEO=55°，

∵AD是⊙O的直径，EF经过点O，∴EO=OD，∴∠ODE=∠OED=55°，

∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴∠B+∠EDB=90°，∴∠B=∠ODE=55°．