Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ADB＝30°，E为BC边上一点，∠AEB＝45°，CF⊥BD于F．下列结论：①BE＝CD，②BF＝3DF，③AE＝AO，④CE＝CF．正确的结论有（　　）

A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据矩形的性质，由∠ADB=30°可得，△AOB和△COD都是等边三角形，再由∠AEB=45°，可得△ABE是等腰直角三角形，其边有特殊的关系，利用等量代换可以得出③AE=AO是正确的，①BE=CD是正确的，在正△COD中，CF⊥BD，可得DF=CD，再利用等量代换可得②BF=3DF是正确的，利用选项的排除法确定选项D是正确的．

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=CO=BO=DO，∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°
∴AB=BE=CD，AE=AB=CD，
故①正确，
∵∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°且AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO，
∴AE=AO，
故③正确，
∵△OCD是等边三角形，CF⊥BD，
∴DF=FO=OD=CD=BD，
∴BF=3DF，
故②正确，
根据排除法，可得选项D正确，
故选：D．