Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．

（1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段AF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；

（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF-QF即可得出结论．

试题解析：（1）∵EQ⊥BO，EH⊥AB，

∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，

∴△EMQ∽△BMH，

∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB与Rt△HFE中，

，

∴△APB≌△HFE，

∴HF=AP；

（2）由勾股定理得，BP=．

∵EF是BP的垂直平分线，

∴BQ=BP=2，

∴QF=BQtan∠FBQ=BQtan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，

∴EF=BP=4，

∴EQ=EF-QF=4-=．