【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过,,⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求阴影部分的面积；

（3）在正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=k,△CPQ的面积为S,求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值.

参考答案：

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

试题分析：

（1）已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数，先求圆心角∠AMC的度数，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根据圆周角定理可得出∠AMC=90°．再求半径，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半径的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积．

（3）求三角形CPQ的面积可以PQ为底，以OP为高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示长OP的长，据此可求出S与k的函数关系，根据函数的性质即可求出S的最大值．

试题解析：

解：（1）由抛物线经过，

设抛物线的解析式为：，

将代入上式中，得．

∴．

（2）∵．

∴

∴，∴

∴

∴，

∴．

（3），轴；

∴，

∴．

∴当时，．

考点: 二次函数综合题.

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