Question

【题目】（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围.

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是___________；

(2)问题解决: 如图②，在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF＞EF；

(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C为顶点作∠ECF,使得角的两边分别交AB,AD于E、F两点,连接EF,且EF=BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系,并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）1＜AD＜4；（2）证明见解析；（3）∠A+2∠ECF=180°，理由见解析.

【解析】

（1）延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；

（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF；

（3）延长EB到G，使BG=DF，连接CG，通过SAS证明△CDF≌△CBG，得到CG=CF，∠BCG=∠DCF，再证明△CEF≌△CEG，得到∠ECF=∠EDG，由∠A+∠BCD=180°，通过等量代换即可得到∠A+2∠ECF=180°.

（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC与△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

∵AB=5，AC=3，

根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜8，

∵AE=2AD

∴1＜AD＜4，

即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜4，

故答案为：1＜AD＜4；

（2）过点B作BG∥AC交FD的延长线于G，连接EG，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDF，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴GD=FD，BG=CF，

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF；

（3）∠A+2∠ECF=180°，理由如下：

延长EB到G，使BG=DF，连接CG，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，

∴∠D=∠CBG，

又∵CD=CB，DF=BG，

∴△CDF≌△CBG，

∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，

∵EF=DF+BE，EG=BE+BG，DF=BG，

∴EF=EG，

又∵EC=EC，

∴△CEF≌△CEG，

∴∠ECF=∠ECG，

∵∠BCD=∠DCF+∠BCF，

∴∠BCD=∠BCF+∠BCG=∠FCG=∠ECF+∠ECG=2∠ECF，

∵∠D+∠A+∠ABC+∠BCD=360°，∠D+∠ABC=180°，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A+2∠ECF=180°.