Question

【题目】如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折，使得点C落在点F处，DF交AB于E，AD=8，AB=16.

（1）求证：DE=BE；

（2）求S△BEF；

（3）若M、N分别为线段CD、DB上的动点，直接写出（NC+NM）的最小值___________.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S△BDE=40；（3）12.8.

【解析】

（1）由折叠的性质可得到∠BDC=∠BDF，再由平行线的性质可得∠ABD=∠BDC，由此可得∠ABD=∠BDF，据此即可得结论；

（2）设BE=x，则DE=BE=x，AE=16-x，利用勾股定理即可求出BE的长，再利用三角形面积公式进行求解即可得答案；

（3）由题意知C、F关于直线BD对称，过点F作FM⊥CD，垂足为M，交BD于点N，交AB于点H，此时MN+NC的值最小，求出FH的长即可求得答案.

（1）∵△BCD≌△BFD，

∴∠BDC=∠BDF，

又∵四边形ABCD是长方形，

∴AB∥DC，

∴∠ABD=∠BDC，

∴∠ABD=∠BDF，

∴DE=BE；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴AD2+AE2=DE2，

设BE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=16-x，

∴82+（16-x）2=x2，

∴x=10，

∴S△BDE==40；

（3）由题意知C、F关于直线BD对称，过点F作FM⊥CD，垂足为M，交BD于点N，交AB于点H，此时MN+NC的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB//CD，∠A=∠ADM=90°，

∵FM⊥CD，

∴∠FMD=90°，

∴四边形ADMH是矩形，

∴∠FHE=90°，HM=AD=8，

∵∠A=∠BFE=90°，AD=BF，DE=BE，

∴Rt△ADE≌Rt△FBE（HL），

∴EF=AE=16-10=6，

∵S△BEF=，

∴FH==4.8，

∴FM=FH+HM=4.8+8=12.8，

即NC+NM的最小值为12.8，

故答案为：12.8.