Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x正半轴，以点A为圆心作⊙A，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b与圆相切于点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．

（1）直接写出b的值和点B的坐标；

（2）求点A的坐标和圆的半径；

（3）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+7；B（，0）（2）圆A的半径为5（3）3

【解析】试题分析：（1）将点M的坐标代入直线的解析式可求得b的值，由b的值可得到直线的解析式，然后令y=0可求得点B的横坐标，于是得到点B的坐标；
（2）由相互垂直的两条直线的一次项系数为-1，可设直线AM的解析式为

然后将点M的坐标代入可求得c的值，然后令y=0可求得点A的横坐标，最后依据两点间的距离公式可求得圆A的半径．
（3）如图1所示：连接AF、AM．先证明四边形AFEM为正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM中依据勾股定理可求得MB的长，从而可求得BE的长，接下来，证明由相似三角形的性质可求得答案．

试题解析：

(1)∵点M在直线上，

解得：b=7.

∴直线的解析式为

∵当y=0时, ,解得：

(2)∵BC是圆A的切线，

∴AM⊥BC.

设直线AM的解析式为

∵将M(4,4)代入得解得：

∴直线AM的解析式为

∵当y=0时, 解得x=1，

∴A(1,0).

∵由两点间的距离公式可知

∴圆A的半径为5.

(3)如图1所示：连接AF、AM.

∵BC、EF是圆A的切线，

∴AM⊥BC，AF⊥EF.

又∵BC⊥EF，

∴四边形AFEM为矩形，

又∵AM=AF，

∴四边形AFEM为正方形，

∴ME=AF=5.

∵在Rt△AMB中,

∴△AGF∽△BGE.

即