Question

【题目】如图，，点、分别在、上，连接，、的平分线交于点，、的平分线交于点．

求证：四边形是矩形．

小明在完成的证明后继续进行了探索，过点作，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，得到四边形．此时，他猜想四边形是菱形．请在下列框图中补全他的证明思路．

小明的证明思路：由，，易证，四边形是平行四边形．要证□是菱形，只要证．由已知条件________，，可证，故只要证，即证，易证________，________，故只要证，易证，，________，故得，即可得证．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．

【解析】

（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法首先得出要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可.

（1）证明：∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH=∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°，

∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°-（∠FEH+∠EFH）=180°-90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠EFG=∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵点A、E、B在同一条直线上，

∴∠AEB=180°，

即∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，

即∠GEH=90°

∴四边形EGFH是矩形；

（2）解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，

要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．

故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证；

故答案为：FG平分∠CFE，GE=FH、∠GME=∠FQH，∠GEF=∠EFH．