Question

【题目】如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°，点E为AD边上的一点，且AC=AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F.

(1)求证：△AGE≌△AFC；

(2)若AB=AC，求证：AD=AF+BD.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)由AF⊥AD，∠CAB=90°，可得∠CAF=∠EAG，由AC=AE，可得∠ACF=∠AEG，根据AAS即可证明结论；

(2)如图，在AD上截取AH=AE，交CE于点M，证明△CAF≌△BAH，从而可得∠ABH=∠ACF，继而可得∠MGB+∠ABH=90°，从而可得∠MHE+∠HEM=90°，再根据∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°，可得到∠MHE=∠HBD，从而可得HD=BD，再根据AD=AH+DH，即可求得答案.

(1)∵AF⊥AD，

∴∠FAE=90°，

∵∠CAB=90°，

∴∠CAB-∠FAB=∠FAE-∠FAB，

即∠CAF=∠EAG，

∵AC=AE，

∴∠ACF=∠AEG，

∴△AGE≌△AFC(AAS)；

(2)如图，在AD上截取AH=AE，交CE于点M，

又∵∠CAF=∠BAH，AC=BC，

∴△CAF≌△BAH(SAS)，

∴∠ABH=∠ACF，

∵∠CGA=∠MGB，∠ACF+∠CGA=90°，

∴∠MGB+∠ABH=90°，

∴∠BMG=90°，

∴∠HME=∠BMG=90°，

∴∠MHE+∠HEM=90°，

又∵∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°，

∴∠MHE=∠HBD，

∴HD=BD，

∵AD=AH+DH，

∴AD=AF+BD.