Question

【题目】如图所示，BC是圆O的直径，点A，F在圆O上，连接AB，BF．

（1）如图1，若点A、F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证：E为OA的中点；
（2）如图2，若点A为弧 的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证：AG=BG．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵A、F为半圆三等分点，

∴∠AOB= ×180°=60°，

∵OA=OB，

∴△OAB为等边三角形．

∵A为弧BF中点，

∴OA⊥BF，

∴BE平分OA，

∴E为OA中点

（2）证明：连接AF，AC，

∵A为弧BF中点，

∴ = ，

∴∠ABF=∠F．

∵ = ，

∴∠C=∠F，

∴∠C=∠ABF．

∵BC为圆O的直径，

∴∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAD=90°．

∵AD⊥BC，

∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠ABG=∠BAG，

∴AG=BG．

【解析】（1）先求出∠AOB的度数，故可判断出△OAB为等边三角形，再由A为弧BF中点可得出OA⊥BF，进而可得出结论；（2）连接AF，AC，根据弧相等可得出∠C=∠ABF，由圆周角定理可得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性质得出∠ABG=∠BAG，进而可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可以解答此题．