Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），

∴∠ADC=90°，

∴ADCE是矩形．