Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，AB=3，点E在线段AB上，AE=1连结DE，DE的垂直平分线交DE于点P，交DC的延长线于点Q，PQ交BC于点G，连结EQ，EQ交BC于点F，连结GE．

（1）求证：△ADE∽△PQD；
（2）求线段CQ的长；
（3）求∠EGB的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠AED=∠PDQ，又∠DAE=∠QPD=90°，

∴△ADE∽△PQD

（2）解：由勾股定理得，DE= = ，

∵PQ是DE的垂直平分线，

∴DP= DE= ，

∵△ADE∽△PQD，

∴ = ，即 = ，

解得，DQ=5，

则CQ=DQ﹣DC=5﹣3=2

（3）解：由勾股定理得，PQ= = ，

∵∠QCG=∠QPD=90°，∠CQG=∠PQD，

∴△CQG∽△PQD，

∴ = ，即 = ，

解得，CG= ，

∴BG=3﹣ = ，

∴tan∠EGB= =

【解析】（1）根据正方形的性质得到DC∥AB，得到∠AED=∠PDQ，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据相似三角形的性质求出CG，根据正切的概念计算即可．

【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．